摘要：本文是以宜州区第二小学四年级学生为研究对象，该文界定了错误及错误资源的概念，阐述了教师利用错误资源的理论基础，通过观察法与个案研究法得出了四年级的学生在学习中出现错误的原因有①基础知识掌握不牢固；②思维定势的影响；③题意理解错误；④粗心、审题不清。根据错误出现的相关原因及在实习过程中的教学实践提出了相关原则与对策，在教学中利用错误资源要遵从以生为本，允许错误，积极表扬的原则。最后基于以上的认知提出了四个对策，一是夯实学生的基础知识；二是利用错误提高反思能力；三是培养学生解决问题的能力；四是培养良好的学习习惯。希望通过本研究可以为四年级教师利用错误资源及学生的发展提供帮助。
关键词：小学数学；错误资源；利用策略
引言
在新时期的教学理念中，学生才是学习的主体，在目前所能够查阅到的文献中发现，西方国家的苏格拉底最早在产婆术中提出了要重视“错误”资源，教师通过与学生的对话，引导学生发现自己学习的误区，最终进行改正。随着新课改的不断推进，教师也逐渐意识到了学生的“错误”是有价值的，据此，许多一线教师也纷纷提出了自己的观点和看法，主要是从小学数学课堂中常见错题类型、原因及策略等方面来展开讨论。根据已有的研究来看，国内的学者对于以“数学课堂错误资源”为研究主题的文献日益增多，但是笔者在查阅的过程中发现他们根据单个年级的研究却很少。因此本文主要以四年级学生为研究对象，在查阅相关文献的基础上，通过观察及个案研究，探讨四年级学生出现错误的原因及相关的应对策略。
一、研究对象与方法
（一）研究对象
宜州区第二小学四年级教师、学生与课堂教学
（二）研究方法
1.观察法
通过利用照相机来记录课堂中所出现的错误，观察教师和学生对于错误的反应，教师如何应对课堂的错误，为研究课堂错误的使用提供事实依据。
2.文献法
本文将通过查阅“小学数学错误类型”、“数学课堂错误资源”及“四年级数学错误”为关键词进行文献检索，搜集、归纳、整理、分析有关资料。
3.个案研究法
通过对四（6）班的“错误”现象进行个案研究，掌握学生学习错误的类型，探寻有效的教学策略并将之应用到教学中，合理有效地利用教学中的错误资源。
二、错误资源的相关概念界定
（一）错误
在现代汉语词典中认为，对于错误一词解释为：“不正确；与实际不合；错误看法”，恰恰与正确一词相反，在哲学当中，错误又被称之为谬误，它是与真理相对应的。认知心理学派认为：错误是学习过程中不可避免的产物，学生的知识背景、思维方式、情感体验和表达形式往往不同于成年人，他们在学习过程中犯各种错误是非常正常的。错误是教师及学生在理解过程中的所产生的偏差和误解，是整个教学过程中不可避免的现象，我们不必整天担心学生的错误，努力预防和纠正错误。
（二）错误资源
错误在学生的学习过程不可避免的，是一种具有特殊教育功能的学习媒介，也是一种宝贵的教学资源。[2]它属于一种生成性资源，而生成性资源具有开放性、互动性、不确定性、动态性的特点。在教学过程中犯错误并不可怕，只要我们能及时发现并将其作为一种稀有资源加以利用，那错误就可以成为培养学生学习能力的良药。有时候，错误的价值并不是在于错误本身，而是在于老师和学生是否可以从中获取有关该错误的新信息。对于教师而言，学生出现的错误既是一个机遇、挑战，也是教师教学智慧的体现。作为教师，我们要以学生的发展为基础，既要正确对待学生的错误，又要巧妙、有效地利用教育资源的“错误”。[3]
三、学生在数学学习中出现错误的原因
四年级是学生从低年级迈入高年级的一个关键期，处于这一阶段的学生在学习过程中常会出现很多错误，导致学生出现错误的原因有
（一）基础知识掌握不牢固
图1“基础知识把握不牢固”错例1
出现这一类型的错误主要是因为学生对于概念、公式、定律等基础知识把握不准确。
这是四年级上册数学中有关于商不变规律的一道题，在这道题中，学生没能够把握好被除数与除数都除以一个相同的数，商不变的规律，从而导致其在括号中补充这些数据时出现了错误。
图2“基础知识把握不牢固”错例2
这是一道有关于平行与垂直的一道题，在该题中可以发现学生并没有掌握好垂直的定义，看到相交的两条直线就认为它是垂直的从而导致了错误的出现。
在小学阶段，学生对于基础的概念、定理等的认知都存在与表面，对知识的理解过于浅显，他们大多都是采用死记硬背的方法来记住概念、公式、定理等基础知识，只有少数的学生是通过理解运用来记住这些知识点，数学是一门比较系统的学科，需要学生不断的积累知识，才能够不影响往后的高年级学习。学生所学的每一个知识点，都是在为后面学习更难的知识做铺垫，而学生通过死记硬背的方式所记住知识点，并不能够加深他们对这个知识点的理解与掌握，反而还可能会导致其在做题的时候出现错误。
（二）思维定势的影响
学生出现这一类错误主要是由于学生受到已有的认知经验或是日常生活概念的影响而造成的。
图3“思维定势”错例
这是一道关于平行四边形与梯形的一道关于画高的题目，垂线在日常生活的概念中总是由上而下的，且学生在先前的时候学习了的“三角形画高”以及“画垂线”的知识，导致其在画梯形的高时产生了画垂线只能从上往下画，而不能从其他方向做垂线的错觉，从而导致错误的出现。
思维定势又被称为“习惯性思维”，主要是受到日常生活概念、已有的认知经验、原有书写格式的影响，学生在考虑问题、分析问题时通常都是按照习惯的、比较固定的思路去思考。由于这些因素的干扰，导致学生在遇到常见的问题时，常常都是用常规的思路去解题，毫无创新。在其遇到难题时，还是会用惯性的解法去解答该题，从而导致其错误的出现。
（三）题意理解错误
这一类错误主要是因为学生不理解题目的意思或是不会做这一道题。出现这一类错误的原因主要是他们没有理解题目的意思，没有解题的思路，所以就更谈不上解决问题了。
图4“题意理解错误”错例1
这是有关于画垂线的一道题目，虽然在题目中并没有提出要画垂线，但是我们在新课学习中，已经知道了直线外一点到这一条直线的距离垂线最短，而学生在这题中虽然是知道可以画垂线，但他并没有能够掌握画垂线的方法，导致其在画垂线的时候出现了偏差，没能够正确的画出垂线。
图5“题意理解错误”错例2
这是四年级上册中有关与平行与垂直的一道题，在该题中主要有两个问题，一个是旗杆B应该怎么立，才能够与旗杆A平行？另一个是当旗杆C与旗杆A平行时，旗杆C与旗杆B有什么关系？由于学生没有把握住《平行与垂直》这一课的知识点，没能够利用已给的图来结合所问的问题进行解题，从而导致其不能够回答该题中所提的问题。
在小学阶段，解决问题是学生较难理解的一类题，是学生需要重点突破的难关，学生是否掌握该部分知识、理解该题的题意、掌握了解决该类型题目的方法，都能够在学生的解题过程中体现出来。在问题解决的过程中，具备解决某问题所需的知识背景是基本前提，审题也是学生在解题过程中的一个重要流程，如今有关于解决问题的题目越来越灵活了，通常都需要学生去发现题目中的间接已知条件才能够解决问题，若是审题出现错误，也会导致整题出错。由于学生还没学会如何听课，在教师讲解时，学生往往都是将重点放在抄写教师所写答案的过程上，没能够将重点放在学习教师的解题思路上，所以当其再遇到类似的问题时依然会出错。
（四）粗心、审题不清
出现这一类错误主要是学生在做题时由于粗心或是没有看清题意所导致的。
图6“粗心、审题不清”错例1
这是四年级上册中有关于三位数除以两位数的两道计算题，在该题中，学生所算出的答案虽然是正确的，但是其余数所写的位置出现了错误，而且也没有将上面的横式补充完整。
图7“粗心、审题不清”错例2
这是四年级上册中有关与速度、时间、路程的一道应用题，在这一题中，学生虽然知道过程是如何书写，从该生的错例中，我们可以发现她是会算这一道题目的，但是她在计算500+250=750（米）中多加了一个0，导致其在后面的列式计算的结果也出现了错误，从而导致了不必要的丢分。
学生在写题时，常常会出现不仔细看题的情况，拿到手就开始在上面答题，尤其是在学生计算上，经常会出现抄错数字、漏写横式的答案等等问题，在计算完之后也没有进行验算的习惯。学生在平时养成了粗心大意的习惯，使得其在做作业时也是马马虎虎，在做题的过程中也是不认真审题等等，从而造成一些不必要的错误。
四、教师有效利用错误资源的原则
（一）以生为本
《义务教育数学课程标准（2011年版）》指出：“有效的数学教学活动是教师教与学生学的统一，应体现‘以人为本’的理念，促进学生的全面发展。学生获得知识，必须建立在自己思考的基础上，可以通过接受学习的方式，也可以通过自主探索等方式。”[1]笔者在实习的过程中发现，部分教师在面对学生出现错误时，通常是通过教师进行讲解的方式来改正学生的错误，而学生对于教师的讲解的内容，通常都是没有经过太多思考，部分学生只是在等教师将答案或是解题的流程写出来，在下一次出现类似的题目时，出错的学生还是很多。而部分教师则是让学生自行探索该问题错误的原因，通过一步步的引导，让学生在探索的过程中收获知识。在建构主义理论与最近发展区中，都强调了学生是学习的主体，所以在教学中，当学生出现错误的时，不要急于纠正他们的错误或是直接将正确答案告知学生，应当引导他们通过思考、交流与探索来发现问题并将之解决。
（二）允许出错
课堂是学生学习的地方，也是学生出错的地方。在学习的过程中，我们不能阻止学生出现错误，因为学生在各方面的发展都还未完善，但是允许写上出错并不是要鼓励学生出错，而是应该鼓励学生对知识进行探索，发掘，敢于发表自己的言论。如在“线段、直线、射线”中有这样一题判断题，一条射线长800米，部分学生认为是正确的，大部分学生认为是错误的。在这时教师并未急于去判定学生的选择是否正确，而是请认为该题正确的同学来说一说射线有哪些特点，通过引导让出错的学生发现自己的误区，随后进行改正。只有允许学生出错，我们才能发现学生的学习误区，才能要通过问答的方式或是提出启发性的问题一步步的引导学生发现并回答问题。
（三）积极表扬
笔者在课堂中发现，部分学生在做题中出现错误时，并不会主动去找同学或是老师了解正确的算法。部分学生在回答错误或是解题错误时，直接被教师忽视过去，没有给他们说出自己想法的机会。对于学生的错误，我们若是一概的将其全盘否定或是直接忽视，不仅会挫伤学生的自尊心，也会降低学生回答问题的积极性。针对学生的错误，我们应该鼓励他们多与他人交流探讨经验，在学生参与到教学中时及时给予表扬与认可。我们要坚信学生是积极向上的，在平常学生出错时不要急于下定论或是对其进行批评，在与学生互动的过程中，我们可以针对学生的某样具体行为进行表扬，通过巧妙地利用表扬，让学生体会到希望和信心。在课堂上有效的利用表扬不仅可以让学生在课堂上勇于发表自己的言论，表达自己的见解，还可以激发学生的学习兴趣，让其乐于参与到课堂活动中。
五、错误资源的利用与对策研究
“垃圾是被放错地方的宝贝。”对于课堂来言，学生的错误也是被放错地方的宝贵资源。我们要像“废纸篓”一样容纳学生的错误，又不能像“废纸篓”那样把废纸一倒了之，应用“变废为宝”的慧眼去发掘学生错误的闪光点，去审视其在教学中能发挥的价值。[5]差错对于学生的学习来说，是一个正常的思维过程，就像沙粒于河蚌而言，即使是拒绝，不愿意接纳，但也没办法将之排出体外，但当它改变策略，分泌汁液来包裹沙粒，反而培育出了珍珠。如果我们能充分合理地利用学生的错误，那么学生不仅能在课堂上感受到自己的变化和成长，还能体验到真理的力量和与人讨论的乐趣，促进学生的认知、能力和情感的发展。[6]
（一）夯实学生的基础知识
基础一词的意思是指建筑物地面以下的承重结构，如基坑、承台、框架柱、地梁等。正如俗话所说：“万丈高楼平地起。”基础不仅是在建筑中显得尤为重要，在学生的学习生活中也很重要，构建一个学科的知识体系就像建造一座大楼，要想继续加高大楼，那就得打好地基，只有地基建得好，高楼才能又高又稳，知识也是如此，学好数学的前提就是得掌握好基础知识。在小学阶段，数学基础知识主要指对学生后继学习起重要作用的一些基本数学知识，教师只有把这些基础知识放在重要位置，帮助学生有效地掌握这些基础知识，才能使学生在解决问题的过程中，减少数学错误的发生。[2]学生在课上不能认真听讲从而导致其没有把握住课上的知识，我们可以通过利用学生所产生的错误，组织学生进行讨论、动手操作、或是提出启发性的问题，让学生来说出他们的发现，从而激发学生的学习兴趣，帮助学生明确错误产生的原因，引导他们发现改正的方法，避免以后再犯类似的错误，同时也可以帮助学生提高自己对错误的判别能力。
如在“三位数乘两位数”中，学生出现了这样一个错误247×34=1729
2 4 7
×3 4
9 8 8
7 4 1
1 7 2 9
师：他的竖式计算正确吗？生：不正确
师：谁能来说一说他为什么算错了呢？
生A：因为它在第二步计算的时候出现了错误，741末尾的1没有与十位对齐。师：说得真好，那谁来说一说741末尾的1为什么是与十位对齐呢？
生B：因为在第二步的时候247×40=7410，在进行竖式的第二步计算中，我们可以省略0不写，第一个因数乘第二个因数的十位时，积的末尾要与十位对齐。在学生出现这种情况时，教师一步步的提问，让学生进行思考，随后得出了该生出现错误是因为他在第二步计算时出错了，因为积的末尾数位没有对齐。通过提出启发性的问题引导学生去解决他们所存在的问题，加深他们对三位数乘两位数算理的理解。
（二）利用错误提高反思能力
X教育家杜威曾说过：“真正思考的人从自己的错误中吸取的知识比从自己的成就中吸取的知识更多，错误与探索相联姻、相交合，才能孕育出真理”[3]在教学中，教师可以列举错例或是利用学生所生成的错误进行教学，因为我们每个人都是从自己的经验中建构自己对事物的理解，所以对于事物的理解相对有限，根据错例或是利用学生生成的错题组织学生进行集体讨论和交流，这不仅可以使他们理解同龄人的想法，而且还可以丰富他们自己的思维方法，促进个人反思。
如在“除数是两位数的除法中”整理和复习中，有这样一道题，176元最多能买多少棵下面这样的树苗？（每棵16元，买3棵送1棵）在学生独立完成之后，教师请了两位学生上台列式A生：176÷16=11（棵）B生：176÷（16×3）=3……32（元）32÷16=2（棵）2+3=5（棵）师：这两位同学算对了吗？请你们再仔细想一想，你们有哪一步漏了吗？其他同学也仔细观察，可以同桌讨论，看看他们算对了吗？
教师组织学生进行反思，辨别结果是否正确，应该如何改正。学生在通过观察与讨论时发现，这一道题所给出的条件是买3棵送1棵，可以先算出买3棵的价钱，因为买3送1，所以48元能买4棵，一棵就为12元，再用176÷12就可得出答案。或者也可以先算176÷16得多少棵树，再看其包含了多少个3，再将其相加也可得出结果。课堂上出现的错误，通过教师的适当引导，促使学生进行辨析、讨论、思考及改正错误，加深他们对这类题目的理解，提高学生的反思能力。
（三）培养学生解决问题的能力
俗话说：“授人以鱼不如授人以渔。”在小学阶段，应用题是小学中必学的，也是最难的内容之一。对于学生来说，直观的问题往往比抽象的问题简单很多，但是大多数的应用题都是以文字的形式出现，甚至部分还结合图片出现，部分的学生由于知识把握不牢固以及未能理解题意而出错。在教学中，教师应当教会学生如何提取题目中的关键信息，让学生根据问题去分析有用的信息，即根据问题，倒着推理出所需的条件是什么，再让其来说一说解题的过程，进行列式。
如：张师傅要做1400件玩具，已经做了520件，剩下的玩具要在16天内完成。剩下的玩具张师傅平均每天要做多少件？
分析：1.题目最终要求的是“剩下的玩具张师傅平均每天要做多少件？”那我们就要知道“还剩下多少个玩具”以及“剩下的玩具要在多少天内完成”。题目已经告知了“剩下的要在16天内完成”，也就是要求出“剩下多少个玩具”。
2.要求出“剩下多少玩具”，那就要知道“总的玩具数量”和“已做的玩具数”，而这两个条件题目都已经给出来了，就可以直接进行计算。
根据第二个条件可以知道“剩下多少个玩具”，列式为：1400-520=880（个），再根据第一个条件就可以算出“剩下的玩具张师傅平均每天要做多少件”，列式为：880÷16=55（个）
通过一步步的引导让学生读懂题目的意思并进行列式，让学生理解题目所要问的问题，掌握该类题型的解法。
（四）培养良好的学习习惯
在课堂学习中，学生认真听讲，做好笔记，积极地参与到课堂的教学活动中，才能更好地把握知识点。笔者在实习的过程中发现，学生在实际学习的过程中经常因为粗心或是马虎大意而丢分，特别是在遇到较为简单的问题时，更容易出现错误，学生在写作业或是写试卷时，常常会因为不良的学习习惯从而导致错题的出现。而常见的由于粗心导致错误的类型有：在计算题中常常会抄错数字、横式漏写结果、基本口算出现错误或看错运算符号等等；而在应用题中则常常会因为题目都还没有看清就开始答题，从而导致其对题目中限制性条件的忽略等等。学生在计算题的列式计算中，常常是在草稿上随意列式，见缝扎针，草稿纸上布满了密密麻麻的数字，到最后抄到作业本上时，常常会因为式子太多、太乱而抄错，导致自己的努力付之东流。究其缘由，小学生不良的学习习惯往往会导致出现很多不必要的错误，只有让学生养成良好的学习习惯，才能够减少学生的此类错误。因此，教师应着重培养学生养成良好的学习习惯，规范学生的写作，对于学生经常抄错、漏写等情况，教师应督促学生在做题时应当多看题目，核对自己的抄写是否正确；在草稿上列式时应注意整洁，方便自己的抄写，书写时字迹尽量保持工整；在应用题的解题中应仔细理解题意，把握题目中的限制性条件。规劝学生在因为粗心而导致丢分时应当引以为戒，在平常的作业或是考试中要养成良好的审题习惯，避免类似的错误再次出现。
结语
四年级的学生是学生从低年级过渡到高年级的一个重要阶段，而且课堂教学作为师生活动交流、学习的过程，在学习的过程中不免会出现错误，学生的这些错误也反映了学生对于这些知识点的把握情况。在学习的差错中，并不是所有的错误都有利用价值，作为教师，我们应当注重辨别错误，用资源的眼光去看待错误，创建一个师生共同学习的课堂。课堂教学中，学生出现错误的原因大致被分成了四类，即基础知识掌握不牢固、思维定势的影响、题意理解错误和粗心或是马虎大意，我们在面对学生的这几类错误时，不应当直接否定学生的想法，而是应当根据他们的错误找出相应的对策帮助他们进行改正。
在生活、学习中遇到错误与挫折，都是我们在成长、成熟路上的必然产物，学生的知识也应当在知其然又知其所以然的情况下牢记的。错误不仅是学生走向成熟的标志，也是学生在不断探索真理中遗留下来的标志。因此，在课堂上，我们要允许学生出错，不应该害怕学生会回答错误，不能以成人的眼光来要求学生，追求他们在数学的解题过程中不能出现错误。因为学生在学习的过程中的认知发展还不够完善，出错于他们而言，是一件再正常不过的事情了，只有当他们出错了，我们才能发现他们的知识误区。当学生犯错误时，不要急于纠正学生的错误，而应该本着“以学生为本”的原则，宽容、理解错误的学生，尊重学生的个性，保护学生的自尊，引导学生找到错误的原因，给学生实践的机会。
参考文献
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致谢
随着毕业论文的最后落笔，我的校园生活也即将画上了一个句号，我们离校的日期也越来越近了。从开始进入课题到论文的顺利完成，一直都离不开老师、同学、朋友给我热情的帮助，在这里请接受我诚挚的谢意！
首先，我要感谢我的论文指导老师，导师严谨细致、一丝不苟的作风和平易近人的人格魅力都对我有着较深的影响，本次论文从选题到完成都是在指导老师的悉心指导下完成的，在此，由衷的感谢老师。在这篇论文的写作过程中，由于自己的理论水平有所欠缺，在论文中不可避免的会有一些不足的地方，欢迎各位老师批评指正。
其次，感谢在所遇到的朋友、同学及老师，感谢他们伴我走过了学生生活，也感谢父母对我一直以来的关心与爱护。
最后，在此祝愿母校的发展日新月异，培养出更高层次的人才。
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