转化思想在高中数学教学中的应用

　　摘要

就目前看来，我国在高中数学领域的研究已经逐渐深入，许多思想也在不断地深入。高中数学的知识涵盖范围在不断地增大，同时，教育局对高中数学的考察力度也在不断加深，不仅表现在题型的多样性，同时，在各个小题型都运用了转化思想，或者是其他的思想。因此，题海战术不再适用于当代的高中学生进行学习。转化思想在数学的领域是一种非常常见的思想，其本质特点是，将问题从一种形式转化为另一种形式。这对于学生解决一些复杂的问题很有帮助。本文从转化思想的本质特征与意义出发，针对转化思想在高中数学领域的应用进行阐述与分析，并且提出了相关的解决措施。从而减轻学生的学习负担与加深学生对数学知识的认识。

　　关键词：转化思想；高中知识；运用

　　1前言

随着我国综合国力的不断提升，在教育方面，我国同样做出了相关的措施。在高中数学的学习中，不仅需要掌握基本的数学知识，同时，对于数学中的思想方法也需要进行研究与分析。数学思想是数学知识更高层次的概括，不仅包括了基本数学知识的发生、数学知识的发展、以及数学知识的运用等过程，而且可以将这种思想运用于社会生活中或者是相关的学科中。数学的精髓就是数学思想方法，同时，数学思想方法也是将理论知识转化为实践知识的基础桥梁。高中数学中，有许多的数学思想应用，其中转化思想就是我们解决一些实际问题的方法，它是一种最为基本、最重要的方法，在高中数学中具有相当重要的作用。高中数学中的转化思想就是将一些新的知识转化为学习过的知识，将一些相当复杂的问题转化为简单的问题，从而解决该问题。高考试卷中，对于“转化思想”的考察非常多，特别是在考查能力的试题中，整个解决问题的步骤都蕴含了转化思想。

　　2转化思想的概念、本质特征开始

　　2.1转化思想的概念

在数学的领域中，转化思想是一种常用的思想之一，它的基本概念是在研究复杂问题或者是新问题时，常常将新问题或者是复杂的问题进行简单化处理，从而解决该问题。转化思想在数学的代数与几何问题中都是非常重要的数学思想。

　　2.2转化思想的本质特征

转化思想的本质特征是将新的知识或者是方法进行转移，转化思想可以简化运算量、开拓思路，同时，转化思想也可以给人带来思维的闪光点，找到解决问题的关键。在当代的高中数学中，呈现出“起点高、容量大、难度大以及课时紧”等特点，学生不能适应现象逐渐突出，教师应该逐渐关注数学思想方法，重视数学思想方法的教学与应用，只有将数学思想运用于实践，运用于学习，学生才能够真正学会学习。

　　2.3转化思想的开始

在高中数学中，转化思想是非常重要的一种思想，对于高中数学的解题来说也是极其重要的，许多的高中生当看到一些题目时，完全没有思路。甚至还有一些学生对题没有理解清楚，就胡乱的开始解题，当写到一半时，发现自己的思路完全偏离了解决问题。这些问题造成的根本原因是没有认真审题，对于问题没有深入理解，因此，就不能对数学知识运用自如，所以，只有细心地理解题意，才可以准确的把握题目中的量以及关键词，从而达到顺利解题的目的。在高中数学的解题过程中，需要运用转化思想进行对题意进行分析。比如下面的这道题:已知sin（2α+β）=sinβ，求证：tan（α+β）=tanα。这是高中数学中常见的三角函数问题，许多的教师都会从角的定义以及函数名两个方面分析与教学。首先，对于题目中的两个角2α+β、β进行分析，以及函数都是正弦函数，但是从结论可以看出只有α+β、α两个角，并且结论中的函数是正弦函数。也就是说，条件与结论中的函数与角都不一样，那么教师就需要发挥自己的引导作用。帮助学生找出题目中所隐含的的条件。通过对题目的仔细分析不难发现，2α+β=（α+β）+α，β=（α+β）-β。只要学生明确了这个方向之后，便可以利用所学的两个角之间的和差余弦公式得出最后的结论。还有一个例子。比如:已知x>2，则的最小值为多少？这个不等式运用了基本不等式中的“一定二正三相等”的基本原则。确定解题的基本方向为“x-2”，以将“x”变形成“x=（x-2）+2”为目标，从而得到解题思路。通过对上述两个例子的阐述，可以知道转化思想在高中数学中的重要性以及转化思想的开始。

　　3转化思想在高中数学的运用

　　3.1转化思想在函数中的运用

在高中数学中，许多的函数问题是无法解决的，因此，借助高中数学中的数学思维对该问题进行解决，转化思想在函数问题中的应用相当广泛，以下列的这个问题进行说明。许多的函数问题都是从正面无法解决的，对于那些从“正面进攻”很难奏效或运算较繁的问题，可先攻其反面，运用补集思想从而使正面得以解决。

例1.已知函数在（0，1）内至少有一个零点，试求实数的取值范围。

分析：至少有一个零点的情况比较复杂，而其反面为没有零点，比较容易处理。

解：（法一）当函数在（0，1）内没有零点时在（0，1）内没有实数根，即在（0，1）内，.

而当（0，1）时，，得。

要使，必有

故满足题设的实数的取值范围是

（法二）设，对称轴为，注意到，故对称轴必须在轴的右侧。

(1)当时，即，

有，此时；

(2)当时，有此时有。

综合（1）（2）得实数的取值范围是

总结，通过不同的方法都可以得到最终的答案，但是得到答案的时间不同，计算程度不同，本题运用方法二进行直接求解时，需要有较强的数形结合能力，分类讨论能力以及较强的洞察力。（注意到有一定的难度，所以需要经过转化思想将其变得更简单，才能更方便的求出最佳答案。如果考虑它的反面情形，就是方法一，那么思路就会变得相当简单与明确。如果在解决困难问题时，考虑转化思想，就可以得到最终答案。

　　3.2转化思想在解三角形中的运用

在高中数学中，三角函数的题也是比较常见的，通过使用转化思想将三角问题进行简单化，便可以很容易解决。在一般情况下，这种转化思想是成立的，那么在特殊条件下，这种转化思想同样成立。同时，这种辩证思想在高中数学中普遍存在，经常运用，这也是化归思想的体现。

例2.已知向量，

若，满足，则的面积等于。

分析：可取的某些特殊值代人求解。

解：由条件可得。利用特殊值，如设代

入，则，故面积为1。

例3.已知函数,求

的值.

分析:直接代入计算较为复杂,可寻求f(x)与f(1-x)的关系.

解:=

==

于是

=

=

从上述的这道题，不难发现，该题的解答使用了转化思想，将一般的解三角形问题变得更加直接、简单，也就是说，如果可以从宏观整体的高度把握问题的一般规律，就可以达到成批的处理问题的效果。

　　3.3转化思想在数量量关系中的运用

在高中数学中，大多数的数量关系的抽象概念都可以赋予几何意义，使得问题变得更加直观与形象，从而找到更方便的解题途径。从某些方面，可以看出，一些涉及图形的问题如果可以转化为数量关系问题，那么就可以更加简捷而一般的解法。这就是转化思想中的数形结合之间的转化。

例4.求函数的最大值和最小值。

分析：令，转化为关于的二次函数在闭区间上的最值问题，结合二次函数图像讨讨论可得。

解：

.

设则，并且。

当时如图。

有

当时，,为和中的较大者，即或.

当时，有

通过上题的分析，不难发现，通过换元降三角问题转化为我们熟悉的二次函数问题，利用二次函数图像结合分类讨论，从而解决该问题。

　　3.4转化思想在圆锥曲线中的运用

在高中数学中，在处理多变元的数学问题时，我们可以选取其中的常数（或参数），将其看做是“主元”，而把其它变元看做是常量，从而达到减少变元简化运算的目的。这是一种转化思想。

例5.已知曲线系的方程为,试证明:坐标平面内任一点(,在中总存在一椭圆和一双曲线过该点.

分析：若从曲线的角度去考虑,即以x,y为主元,思维受阻.若从k来考虑,不难看出,当表示的曲线分别为椭圆和双曲线,问题归结为证明在区间和(4,9)内分别存在k值,使曲线过点(a,b).

解：设点()在曲线上,则整理得

①

可知f(k)=0,根据函数图象开口向上,可知方程①在和(4,9)内分别有一根,即对平面内任一点(a,b),在曲线系中总存在一椭圆和一双曲线通过该点.

点评：本题巧妙地将解析几何中的曲线系问题转化为视变量为主元的方程的根的问题,降低了难度,这种方法在解析几何中用的较普通。

相等于不等是数学解题中矛盾的两方面，但是它们在一定的条件下可以互相转化，例如有些题目，表面看来似乎只具有相等的数量关系，根据这些相等关系又难以解决问题，但若能挖掘其中的不等关系，建立不等式（组）去转化，往往能获得简捷求解的效果。

　　3.5转化思想在不等式中的运用

例6.已知都是实数，且求证：。

分析：利用均值不等式先得到一个不等关系，再结合已知中的相等关系寻求与之间的关系。

解：，

。

又，且即。

转化思想在不等式与等式之间的应用是比较常见的，同时，不等式与等式之间又存在辩证关系，并且可以相互转化，通过转化思想，便可以解决上述的问题。

在高中数学中，需要运用转化思想，将问题由陌生转向熟悉，将复杂的问题转化为简单的问题，将抽象的问题转化为具体的问题。同时，也要注意对比以前错过的问题，找到它们之间的差异性，从而构造出熟悉的事例模型，在已经解决问题与未解决问题之间进行转化。

例7.对任意函数可按图示构造一个数列发生器，其工作原理如下：

输入数据，经数列发生器输出；

②若，则数列发生器结束工作；若则将反馈回输入端，再输出，并依此规律继续下去，现定义。

⑴若输入，则由数列发生器产生数列，请写出的所有项；

⑵若要数列发生器产生一个无穷的常数列，试求输入的初始数据的值；

⑶若输入时，产生的无穷数列，满足对任意正整数n均有，求的取值范围。

分析：本题具有相当强的抽象性，同时综合性与新意都比较强，所以本题的关键就是要将隐含的条件用数学语言表示出来。

解：（1）的定义域，

数列只有三项，，，

（2），即，

故当时，

（3）解不等式，得或，要使，则或

对于函数，若则；

若则且

依此类推可得数列的所有项均满足

综上所述，由，得

本题主要是为了考查学生的阅读能力、审题能力以及综合理解能力，但是这些能力都是基于转化思想，只要将题目中的某些问题进行转化，便可以化复杂为简单，化抽象为具体。从而解决本题中涉及的函数求值的简单运算、方程思想的应用以及不等式与转化思想的应用。

　　4如何提高转化思想在高中数学中的使用率

　　4.1把错题本化为学生自我教育的动力

对于不同学生的作业，其中所呈现的错误，教师在进行审阅与批改时，应该采取整体讲评与个体讲评辅导相结合的方式，从而切实提高学生的解题能力与纠错能力。首先，教师可以进行集体分析，针对错误率达到40%以上的错题进行整体辅导。其次，教师还需要进行个人辅导，教师针对错误率为20%以下学生出现的错题进行个人辅导。最后，教师要对自己的教学工作进行改进。当同一个知识点出现了多次错误时，应该及时考虑是不是自己教学方法的问题。尤其是针对某些错题的错误率到达了50%以上，教师就应该及时反思，并且做出相应的调整，还有教师还需要进行分布的强化训练，一个星期、一个月或者是按照单元进行强化训练，巩固学生的知识点，精心挑选具有代表性的错题，并且进行变式题强化练习，根据自己学生的真实情况需要考试设计不同的试卷，按照不同层次的学生进行测验。这样一来，才可以真正体现出“人人学有价值的教学，人人都获得了必要的教学，不同的人在数学上得到不同的发展”的教育理念。

　　4.2错题集作为教学资源

从某种程度上看来，错题是某些学生很难解决的问题，或者是难点，教师需要从错题本中提炼出学生可能出错的题目，并且总结经验教训，进行变式训练。通过长期的训练，仅可以提高学生分析错题原因的能力，而且还可以掌握知识，从而培养他们自己审题的能力、分析能力、以及判断能力，另外，教师要正确利用错题集，既能让学生正视自己的错误，同时培养他们严谨的学习态度。在错题中，许多的错题都是因为题意理解不清晰，或者是没有转化自己的思维，还是用传统的方法将数学题做了出来，虽然得出了最终的答案，但是学生以后遇到同样的问题，或者是稍稍变一下形的题目，那么学生便会陷入其中，永远找不到正确的解题方法，所以，要让学生学会用数学思维进行解题，让学生利用转化思想看待每一道题，才会真正的提升自我。

　　4.3转化角度，扩宽解题思路

在高中数学中，转化思想具有相当重要的作用，在转化思想的实际运用中，将某些题转换解题思路成为了关键。因此，教师对于学生很难理解的题，或者是不易分析的题，都可以采用转化思想将思路理清晰。指导学生从不同的方面进行进行解题。这样一来，可以让学生遇到高难度的题时，能够学会从不同的角度去思考以及探索。也可以让学生在逐渐转换角度看待问题时，不断地拓展自己的解题思路，这对于学生的逆向思维培养有非常重要的作用，逐渐使得学生形成数学思维，从而提高学生灵活解题能力的作用。转化思想的认识基本是在数学证明题中体现比较多，以下有一道关于数学概率题。假设甲、乙、丙三位运动员均射击一次，其正中靶心的概率均为0.7，求至少一人正中靶心的概率。一般情况下，可以假设只有一人射中，或者是三人均射中与只有一人没有射中。这是学生的正常思路。通过这种分析，需要涉及一系列复杂的运算，在解题的过程中，也可能出现大量的纰漏。从而导致结果错误。如果将这道题进行反面转换之后，可以设立三人都没有射中，学生便可以以此作为参考依据，将问题聚焦于一点，对其概率进行反向的说明，从而解决该问题。通过转化的方法，不仅可以让学生快速地了解问题的重点，将问题转化为已知的条件，从而达到灵活解题的目标。

　　5总结

古人常说:“授人以鱼不如授人以渔”。在高中数学教学中，数学思想可以说是钓鱼的杆，捕鱼的网。在高中的数学教学中，教师需要引导学生将复杂的问题转化为简单的问题，将许多的未知知识转化为已知的知识，不断地培养学生自觉转化意识，强化转化思想在解题中的应用。提高学生解决数学问题时的独立思考能力、应变能力，以及转化能力。

本文列举了许多关于转化思想在不同方面的应用，主要有在不等式、双曲线、导数以及函数等，都是为了体现转化思想在解题过程中化繁为简、化抽象为具体的重要作用。总而言之，转化思想在高中数学解题过程中具有极其重要的作用，学生对于数学基本知识的掌握也相当重要。在培养学生数学解题能力的同时，也要注重培养学生的教学思维，教师通过引导学生将复杂的问题转化为简单的问题，将未知的知识转化为已知的知识，在学习的过程中，必然会遇到很多的困难，但是只有不断地练习和培养，不断地提升自我，学生本身的学习能力就会得到提升，从而能够更加科学运用科学思维，来解决学习中的问题。通过对转化思想的阐述与分析，可以发现，培养学生转化思想对于数学解题相当重要，同时也可以开拓学生的数学思维。

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　　致谢

即将告别大学四年的学习生活，心中有许多不舍。在这即将告别之际，衷心感谢四年里一路陪伴着我的老师、同学、朋友们，感谢他们给予的指导和帮助，感谢他们让我得到了成长，收获到许多的财富！

我能够顺利完成本阶段的学习，离不开学校的熏陶培养，让我在这四年中充实自己，发挥自己的专长，努力弥补自己的不足之处，实现自己的价值。使自己在各方面都得到了提高。感谢所有传授我知识的老师，让我获得更多的知识与成长。本论文的完成首先要感谢我的论文指导老师。她在忙碌的教学工作中挤出时间来审查、修改我的论文，给我指导，为我提供很多的宝贵意见，谢谢她的教导！

最后，我要向在百忙之中抽出时间对我的论文进行审阅的各位老师表示衷心的感谢！感谢之余，恳请各位老师对我的论文加以批评指正，使我的论文更加完善。