关于多元奇偶函数积分算法的研究

　　摘要

积分算法，是大学数学中比较重要的内容，在人们的学习中也占有很大的比重，对积分算法的深入了解与研究是一件尤为重要的事。而奇偶函数是初高中学生比较关心的问题，他们往往将这两种函数比较着来记忆，使它们各自的特点更加突出，多元奇偶函数无疑有上升了一个难度，对学生的计算与理解又增加了一个新的挑战。对多元奇偶函数的积分算法，无疑是把这两者联系起来，这就要求我们能够对这两种算法做到足够的熟悉，能够灵活的应用。本文主要针对我们对于这两种算法的充分应用，使它们能够很好地结合起来，使多元奇偶函数积分算法能够得到更好的解决办法。本文主要通过阐述几个重要的结论并且用例题说明它们的应用，从而使多元奇偶函数积分算法变得简单。

　　关键词：多元函数积分；函数奇偶性；积分算法

　　1前言

积分学，从古至今，一直是许多数学家研究的重要课题，由于其体系之庞大，导致其研究分支也越来越多。在数分这门学科中，积分学是一个重要的研究课题，也是现代数学研究的主流方向，其中包括定积分和不定积分两个方面，而多元函数的积分算法则是其中重难点。它不仅涉及了概念诸多的概念，而且方法、公式也纷然杂陈，从而导致学生很难找到做题思路，计算时也无处落笔，而且极易算错。尽管如此，它还是有规律可循，多元积分和定积分的思想原则一脉相通，两者都表达出了“分割、求和、取极限”的积分思想［1］。因此，在我们研究积分算法的过程中，只要掌握了积分的根本思想原则，并且能够够熟练应用，就起到事半功倍的效果。以下我就从几个方面谈一些初步体会和想法。

　　2关于区域积分对称性、函数奇偶性的讨论

积分区域性，函数奇偶性是现代数学研究的重要课题，利用其结论往往能使题目运算证明变得简单。如果将它们统一称为空间区域，则可以建立一般性定义。

　　2.1积分区域对称性

定义1设是任意空间区域，

1）若点，有,则称关于面对称；

2）若点，有,则称关于面对称；

3）若点，有,则称关于面对称；

4）若点，有,则称关于轴对称；

5）若点，有,则称关于轴对称；

6）若点，有,则称关于轴对称；

7）若点，有,则称关于原点对称［3］。

　　2.2函数奇偶性

奇偶性为函数的重要性质之一，通过对其研究，我们可以找到函数图像的对称性关系，使得一些做题步骤更加快捷。

2.2.1一元函数奇偶性

定义2数集关于原点对称，是区间上的函数，对于，都有（或）成立），则称为上的奇（偶）函数。

类似的，可以推断出多元函数奇偶性性质，下面我们进行给出。

2.2.2多元函数奇偶性

我们可以根据上述对一元函数的研究，得出多元奇偶函数的定义。

定义3定义域关于轴对称的函数，对，有

(或)

则称是上关于的一元偏奇（偶）函数。

定义4定义域关于面对称的函数，对，有

(或)

则称是上关于的一元偏奇（偶）函数。

同样的，我们也可以得出二（三）元函数关于其他对称轴（面）的结论。

定义5若定义域函数关于原点对称的，对，有

（或）

则称是上关于的二元全奇（偶）函数。

定义6若定义域关于轴对称的函数，对，有

（或）

则称是上关于的二元偏奇（偶）函数。

定义7若定义域关于原点对称的函数，对，有

（或）

则称是上关于的三元全奇（偶）函数［2］。

　　2.3积分函数

2.3.1定积分

当被积函数具有奇偶性时，可以考虑如下方法求解。

定理1设在上可积，则

证明令,

（1）当为奇函数时，则

所以，即.

(2)当是偶函数时，有

所以.

例1计算

解积分区间关于原点对称

且被积函数为关于的奇函数，所以：

例2计算积分

解令,则有：

其中为偶函数

故：

令，则：

2.3.2二重积分

当被积函数积分区域关于坐标轴对称时，可以考虑如下方法求解。

定理2存在函数，其积分区域关于轴对称，有

若在区域上可积，则

(1)为的奇函数时，有

(2)为的偶函数时，有

证明：（1）设，

则,表示积分区域在轴上方与下方区域，

根据积分的区域可加性有：

令，，，可得：

，

其中，于是：

，

从而有：

，

因为为的奇函数，即

所以有：

（2）当为的偶函数，即，

由（1）有：

同理可证明定理3、定理4，现给出结论，不加以证明.

定理3设区域关于轴对称，,在区域上可积，则有：

(1)为的奇函数时，有

(2)为的偶函数时，有

推理1设在区域上可积，且关于轴和轴都对称.

则当同时满足关于和的偶函数特性时，有

其中

当满足或的奇函数特性时，有：

当积分区域关于坐标原点对称，可以考虑如下方法求解。

定理4设区域关于原点对称，，在上可积，则有：

（1）为，的二元全奇函数时，有：

（2）为，的二元全偶函数时，有：

例3计算二重积分，其中为矩阵.

解函数对于对称区域时关于的偶函数，设，故有：

由于函数对于对称区域又是关于的偶函数，设：

所以有：

2.3.3三重积分

（1）当积分区域关于平面对称，有：

①当为的一元偏奇函数时，则：

.

②当为的一元偏偶函数时，则：

（2）当积分区域关于轴对称，有：

①当为，的二元偏奇函数时，则：

②当为，的一元偏偶函数时，则：

同理可以得出当积分区域关于其他两个坐标轴对称时的情况，请读者自行写出。

（3）当积分区域关于坐标原点对称有：

①当为的三元全奇函数时，则：

②当为的三元全偶函数时，则：

（4）当关于三个坐标平面全都是对称的，有：

其中，是的一元偏偶函数时.

例4计算三重积分

，

其中是平面与面、面、面所围成的四面体。

解积分区域关于面对称，令

因为

所以是的奇函数，即

例5求

其中是椭球体.

解由于是中心对称图形，函数是的一元偏偶函数，故：

其中表示

又，这里表示椭圆面

或

它的面积为

于是有：

所以：

　　3多元奇偶函数积分

　　3.1多元奇偶函数定义

定义1设为一区域，若对,都有成立，则称关于变量是对称的［2］.

利用定义1，我们可以定义元函数的奇偶性.

定义2设函数的定义区间为，对，都有：

.

则称是关于的奇函数，若，则简称为奇函数.

定义3设函数的定义区间为，对，都有：

则称是关于的偶函数。若，则简称

为偶函数.

　　3.2多元奇（偶）函数积分

根据上述内容，我们可以推导出多元奇（偶）函数重积分的基本性质。

定理1设是中关于的对称区域，且有存在，对任意维超平面［2］，设

则当是关于的奇函数时，有：

证明：作变换：

此时行列式［11］：

.

所以有：

由推导过程有

所以得

.

定理2设是中关于的对称区域，且有存在，对任意维超平面，设

则当是关于的偶函数时，有：

证明照定理1作同等变换，设

则和都是区域。此时变换将区域变成区域，而且有：

利用重积分的性质有：

利用重积分的性质有：

故得证.

　　3.3多元奇（偶）函数积分

多元函数积分计算是一个难点，但是只要掌握其要点，就能使计算过程得以简单化。下面，通过几个例题进一步进行说明。

例6计算四重积分

，

其中：.

解：作四维球面坐标变换：

其中，且.

故原积分

例7求维球体:的体积.

解方法一：.

作变换，这时，因此有：

其中

它是维单位球体的体积，其中中右边的重积分表示以为半径的维球体的体积.

因而其值为，其中表示维球体的体积［13］.

由于：

又，有：

方法二：利用维球坐标变换求得维球坐标变换为：

因此有：

.

因此积分区域为：

.

所以有：

例8求维单位球面的面积.

解设，其中为维空间中的曲面，则其面积为：

因维单位球体的上半部分可由方程：

确定，又由于

所以上半球面面积为：

由于对变量的积分等于，从而有：

其中为维空间中单位球体体积。由例7得维球面面积为.

则：

①当时，.

②当时，.

　　参考文献

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