小学数学运算中学生推理能力培养

　　自新课改实施以来，小学数学教师或者其他小学教育工作者，都越来越偏向学生能力的培养。“如何更全面、更有效地提升学生的推理能力？”使每个老师伤透脑筋。笔者在知网搜索关键字，查到很多关于运算或推理方面的文献，但是，关于如何在运算中提升推理能力的研究却少之又少。一直以来，数学教学都注重“空间与几何”方面的推理，认为“数与代数”之间的运算过程只是一种计算过程，而不是推理过程。为了提高学生成绩，提升学校的升学率，教师的教学方式经常在无意间变成了“快餐式”教学，学生推理能力的培养通常都被无视了。为了改变“唯成绩论”的教学现状，小学数学教师应该从自身做起，注重提升学生推理能力，使之综合能力水平有所提升。

　　笔者借鉴相关文献的理论与教学实例，考虑当前数学教学常存的问题及教学后果，增强小学教师对学生推理能力培养的重视程度；分析教师在运算教学过程中培养小学生推理能力的影响因素，为广大的小学数学教师群体研究出一系列适用于小学生的在运算过程中提升推理能力的策略，促进一线教师科学有效地培养小学生在运算过程中的推理能力，形成“在运算中推理，推理促进运算”的良好局面，使教师的教学工作开展得更加顺利，同时，也促进小学生在推理能力的形成初期养成良好的推理习惯，使得学生在小学阶段的推理能力有显著的提升，为进入中学学习做好准备。

　　几乎所有数学知识的学习都有涉及到数的运算，教师有大量可以选择的素材，提升推理能力的机会也多。从数学学科角度而言，加强学生运算中的推理能力，有利于促进学生数学知识的吸收和能力的提升，也有利于学生将数学能力迁移到其他学科中去，使学生在其他相关学科也有好的发展。从教师角度，教师有了更广泛的提升小学生推理能力的素材，为促进学生推理水平的上升提供更多机遇和空间，同时还加强了学生运算知识的巩固，提升了小学数学的教学质量。学生提升推理能力的素材和机会增多，再加上教师的指导，有利于加深小学生对数学运算知识的认识和巩固，更加促进推理能力的发展。

　　小学教师在对教材深度研究的基础上不难发现，数学知识学习过程中处处存在推理，但并不是一切推理都是显而易见的，教材中直接呈现出来的推理大多存在于例题或习题中，教师很容易把握，但也有不少潜藏在数学知识背后的推理。对于教材中可见的推理，要及时利用，而那些潜在的推理，要善于挖掘，更加重视，因为这往往是培养推理能力的最佳素材。发掘出潜藏于数学知识深处的推理，本身就是数学思索的结果，对老师来说，是教学能力的体现，对学生而言，则是一种思想的引领与启发。对于刚接触数学的学生，每个人都是从简单的自然数开始学习数学的，学习自然数当然少不了练习写数，但是重复写同一个数是一个机械、枯燥的过程，那么如何让写数变得富有趣味、还能锻炼学生的推理能力呢？不妨把任务换个花样，刚开始时用填空的方法，比如“‘1’和‘0’手拉手，组成□一起走”、“数一数，我有□个手指头”等，过段时间之后，不要求学生一定要写哪个数，建议学生写一些有规律的数，例如“1，3，5，7，…”、“1，2，3，5，…”等。对于高年级的学生，教师也可以在应用题训练过程中培养其推理能力，从引导学生审题，找出题目中的隐含的数量关系，将数学语言转化成数学符号进行运算，到调节运算的数据及顺序，利用简便方法进行计算等一系列解题环节，每个环节都是锻炼学生进行推理的大好时机。最后，通过验算还可以培养小学生的逆向推理能力，因为验算的过程就是一个逆向推理的计算过程。

　　新课改之前，我国数学学科发展受前苏联数学理论的影响较大，尤其是小学数学教材，长期以来都是以直线式的形式编排，考虑到6-12岁儿童的年龄特征和理解水平，课堂上教给学生的通常是生硬的抽象结论，而且都是以完成形式出现，课堂环节很少设计探索性的数学活动，学生难以体验发现和猜想的喜悦。很多教师进行运算教学时大多采用形式化的演绎推理，而极少运用合情推理。究其原因，相当部分教师认为运用合情推理进行教学时的过程探索是徒劳无益的，为什么这样说呢？首先，学生盲目地摸索容易造成“先入为主”的首因效应，给后期纠正错误的认知加大难度；其次，不论学生摸索的结果如何，最终仍要遵从数学的规定。这样一来，数学的抽象与严谨就变成一把双刃剑，砍去了严肃而活泼的数学思想，学生的探索精神也惨遭扼杀。在运算教学中融入“合情推理”能力的培养，教学过程必须设置学生参与推理的环节，将学生置于活动之中，实实在在地体会合情推理，除此之外，在运算教学过程中还要做到：第一，合理改变数学知识的呈现方式，减少学生被动地接受“……是什么？”“……应当如何做？”等结论的次数，给学生创造数学知识探索、参与推理活动的机会；第二，教师必须对教科书有全面、精准、熟悉的把握，有对教材进行整合改编的能力，使得学生运用推理进行运算，最大限度地给予学生参与合情推理数学活动的时间。

　　例如，教师让学生观察图1中的图形，在空白处画出适当的图形。

　　这道题表面上看是一道填空题，只要画一个适当的图形，实际上却暗含推理，只要适当，是没有固定答案的，但是怎样的图形才是适当的呢？学生的解题思路是怎样的呢？教师该如何引导呢？学生在一年级或者更早就开始接触这类题型，初次接触的学生，教师在引导学生分析推理思路之前，要留给学生思考、讨论的时间，然后才开始帮助学生分析：从数量上看，第二列的数量都是一，那么，根据左上角方格中图形的数量，第一列的数量有可能就是四；从方向上看，第一行的图形都是圆形，那么，根据右下角方格中的图形的形状，第二行的图形有可能就是正方形。也就是说，第二行第一列空白部分的图形是四个正方形。培养学生合情推理的素材和题型有很多，看图找规律这类只是其中之一，学生可以通过不同类型的训练，加深推理过程和步骤的印象，从而形成可以灵活运用的合情推理能力。

　　小学阶段数学教材内容的编写是有层次、有梯度的，随着年级的升高，教学内容越丰富、越复杂，知识系统也就越完善。数学运算知识也是这如此，从简单的自然数到数的运算，再到贴近生活实际的应用题，由简到难逐步升级。小学生的年龄特征和认知水平等因素决定了小学生能力的发展也是有层次、有阶段的，运算能力和推理能力都是数学能力，运算能力是小学阶段数学能力的第一个层次，推理能力在第二个层次，小学生只有熟练地掌握了简易、单一的能力，才能更好地掌握复杂、多样的综合能力。传统的“教书匠”已成昨日，课堂上读课本的时光也已不再，学生接收知识信息的速度很快，对于教师来说，向学生传授知识并不难，难的是如何根据教材和学生的层次性逐步提高学生的推理能力。在实际教学中，很多教师缺乏“匠心”精神，忽视教材的层次性，对学生的层次性把握不到位，有时为了赶进度，不得不舍弃某些基础的、简单的知识点，甚至不顾惜牺牲能力发展较差的学生。显然，这样做短期能得到较好结果，长远来看，既不利于学生能力的发展，也不利于教师的教学成长。以植树问题为例，教师可以将此问题划分为三分层次，第一层次以最为简单，直接抛出问题：学校组织植树活动，要求每2米种一棵树，10米长的路旁要种几棵树？学生不假思索说出答案：5棵。随着老师的质疑，学生开始画图验证，发现至少要种6棵，老师再变换题目中的数据，无论怎么变，答案总是间隔数加1。第二层次加大难度，设计道路的长度除以间隔数有余数或者绕圆湖种树的情况。第三层次难度再次升级，给出道路长度和树的棵数，求每两棵树之间的距离，锻炼学生的逆向推理能力。

　　学校是学生各方面能力成长的主要场所，学校的教育行政、教学设备、教育目标、师资质量等对学生能力发展的影响不容忽视。

　　尽管教育改革已经多年，“应试教育”却难以在短期内完全改变，为得高分、提高升学率服务的教学现象仍然存在，这些现象使得教师的教学方式越来越注重知识的灌输，虽然短时期内能提高学生的成绩，但是，长此以往，教学方式就会僵化，使学生对数学课堂感到厌倦，影响学生的学习意愿。

　　先进的现代教育技术使得多媒体教学走进每一间教室，带给学生更加生动、直观的感受，课堂气氛也随之活跃起来，使课堂更加精彩纷呈，但是，这对教师合理安排教学环节的要求很高，快节奏的教学环节的设计，使得学生疲于接收和消化知识，能力提升的时间和空间却大大地被削弱了，尤其是逻辑推理能力，学生有继续思考的兴致，由于时间限制却不得不暂时停止，一旦思路被打断就很难再继续。例如，题目和答案直接出现在电子屏幕上，不仅使学生的思考时间大大减少，久而久之，学生还会产生惰性心理，有时学生也会被精致的设计吸引，忽视教学内容，表面上看学生确实处于认真听讲的状态，使得老师很难辨别学生对教学内容的理解状况。

　　学生在完成家庭作业遇到困难时，在没有专业教师指导的情况下，他们往往会借助电脑寻求答案。没有专业教师指导，学生很难完全理解答案中展现的解题思路和隐藏的数学方法，这种快餐式获得答案的方式缩短了学生独立思考的时间，减少了学生试错的机会，教师也难以及时了解学生课堂接收的情况，使得教师在教学和讲解方面的工作存在很大漏洞，对学生推理能力的培养产生不利影响。

　　学生的年龄特征和思维特点、学习兴趣和态度是影响其能力发展的重要因素。

　　小学阶段的学生年龄大约在6岁到12岁，稳定性和可变性是这个阶段学生的思维特点存在的最显著、也是最普遍的特征，换句话来讲，小学阶段的儿童每一阶段的心理变化过程总体来讲是稳定的，但由于外部刺激对儿童所起作用不同，使得速度有所差别，但从整个过程来讲，儿童的思维发展是前进的。李丹、高敏在其论文研究中得出，10-11岁是小学阶段推理能力高速发展的关键期，学生在这一时期已经能进行较为复杂的运算，在此基础上加强推理意识，其推理能力能会到大幅度提升。但是小学阶段儿童的年龄特征和思维特点决定了他们的推理能力只可能是初级的，教师要依据不同阶段儿童的年龄特征和思维发展的规律，因材施教，使不同层次学生的推理能力得到各不相同水平的发展。

　　小学数学关于运算的学习和操作比较枯燥、机械，而且不仅是所学知识的数量伴随年级的升高不断增大，学习的难度也随之增强，低年级阶段的基础知识掌握不牢固，高年级阶段数学知识的学习就会受阻，学生的学习兴趣和态度受到影响，不利于学生在运算中推理能力的提升。从心理学角度分析，当一个人处于消极状态时不利于表征加工，审题时某些信息在无意间被忽视，遇到相似的情境很难做到深层次思考，怎样也找不到解题的突破口，学生想学好数学，但经常感到无助，失去学习数学的勇气和信心，不利于推理能力的培养。部分学习较好的同学，他们更倾向于解决一道有难度的问题，思考出新的解题思路有助于获得高分，也能得到满足感，认为运算过程就是机械的练习，不需要在此浪费时间，这将导致他们容易粗心造成计算失误，不利于在运算中培养推理能力；而学困生对数学学习本身就有抵触心理，完成作业也只是为了应付老师，没有准确清晰的解题思路，连基本的算理都存在诸多问题，久而久之对数学学习养成懈怠心理。在数学运算中培养推理能力，前提就是要对运算过程熟能生巧，经过不断磨炼总结计算技巧，从根本上在运算中提升推理能力。

　　教师的知识结构、教学方式和教学能力是影响学生推理能力能力发展的重要因素。

　　教师本身虽具有丰富的专业知识，但教师的教学范围有时会长期固定在某个阶段，这使得教师的知识结构和思维方式固化，低年级的教师不会过多地考虑学生的长期发展，只注重学生特定阶段的知识掌握情况，忽视对学生整体的思维和能力的培养。

　　学生获得能力与学得知识不同，教师的教授方式也就有所区别。教师要改变长期以来形成的单一、僵硬的教学方式，不断鞭策自己学习业务，紧跟时代发展，改变陈旧观念，在吸收和借鉴先进教学经验的基础上创造出有利于发挥学生主体性的独特的教学方式，时刻挖掘自身的教学潜力，进而提升学生推理能力发展空间。

　　“如何让推理变得有趣？”是教师在运算教学中培养小学生的推理能力时值得重视、也是值得思考的问题。小学数学课堂教学时间有50分钟，但据笔者在小学实习期间与各科老师交流和观察发现，实际教学中真正用来教授学生的的时间还不足一半，大部分原因就在于小学生的注意力保持时间较短，这是这个阶段学生的显著特点。为了取得更好的教学效果，教师在一堂课的开始就得下足功夫，抓住小学生平时感兴趣的知识点作为一节课的开始，不失为一个明智的选择。

 

　　九宫格填数游戏是中国数学的一个经典游戏，针对不同年龄阶段的学生可以设计多种不同类型的题目。为了加深小学生对数的认识和深刻理解自然数之间的联系而设计了如下这道题：

　　这是一个非常有趣的游戏，看似是一个简单的填数游戏却暗藏玄机，学生必须对1-9这9个数字和平面图形的特征都有全面而深刻的认识才能解题，但是很少学生看不到这一点，大家看到这道题时自信满满，拿起笔跃跃欲试，一阵躁动之后便安静下来，因为解题遇到困境，在这个过程中，教师给予了充分的时间。在学生思考遇到阻碍时，老师在黑板上画出一个规整的米字格（图3）再次激发学生的好奇心：米字格与九宫格有联系吗？学生似乎有所悟但又不得其解，老师再次提示：仔细观察米字格的点、线，找出它们之间的联系。根据老师的提示，学生观察到图2由9个点、8条线段组成，但是点、线之间的联系却很难发现，老师只好举例进行说明：老师手指米字格的中心点，这一点是对称轴和对角线之间相互交叉的交点，以此为例，推出其它点、线之间的联系。学生依次说完之后顿悟，发现：9个点可以分为中心点、顶点和中点三类；8条线段可以分成4条边、2条对角线和2条对称轴；中心的一点是4条线的交点，4个顶点分别是3条线的交点；4个中点分别是两条线的交点。教师引导学生推理渐入佳境，并且已经取得很好的效果，再让学生仔细观察图3与图2，学生恍然大悟：图3的九个点正好对应图2的九个格！整理思路、总结语言之后得出：图3中的交点上相交了几条线段，图2对应格中的数字就参与了几次运算，图3的中心点是4条线段的交点，图2中间那一格上的数字就参与4次运算；图3中的4个顶点分别是3条线段的交点，图2中的4个角方格的数字就参与3次运算；图3的中点分别是4条线段的交点，那么，图2其余4个方格的数字就参与2次运算。老师进一步引导：刚才分析了九宫格与米字格的联系，那么，九宫格与1-9这九个整数又有哪些联系呢？接下来我们应该怎么办？第一个学生回答：前面我们分析了图3的9个交点，相应地，我们可以分析1-9这9个整数，把1-9这9个整数按奇偶性质分类，1、3、5、7、9是奇数，2、4、6、8是偶数。第二个学生回答：结合图2每个方格中数字参与运算的次数，1-9这9个数字也可以分成三类，先把5排除，放在中心方格上，奇数和偶数分别为一类，填到4个角方格上和其余4个方格上。这时，老师提出疑问：为什么5要放在中心方格上呢？学生回答：因为数字5排在1-9这9个数字的中间，对应那个方格刚好也在九宫格的中心。接下来教师又带领学生讨论其余8个数字该如何填，学生思考之后得出结论：四个顶角方格上只能填偶数，在其余四个方格上填奇数，并且把这样填的理由也详细地陈述出来，如图4。图5是一位同学的答案，他是这样想的：因为5在中间，15-5=10，那么只要保证其余两个数的和是10就可以了。剩下的8个数中有四对这样的数，我先在左上角方格中填2，右下角方格就填8，以此类推，接下来再填奇数。

　　这位教师首先明确地告知学生这是一个填数游戏，抓住了小学生爱做游戏的兴趣点；学生们跃跃欲试的神态说明兴趣已被激发，形成了良好的推理意愿；为了让自己参与到游戏中来，学生不自觉地进入推理状态。在这道题的训练中，处处存在推理，但是教师没有直接对学生说明这道题需要推理，而是在不知不觉中将学生带领到推理之路，这样做不仅对数字有了新的认识，还运用这些数字的本质特征和运算规律一步步推理，最终解决问题。

　　每种推理形式都不是单独存在的，也不可能单独地发展学生某种推理能力，就好像人要均衡地补充各种营养，才能促进营养更好吸收，推理能力的提升也是一样，学生掌握两种推理的趋势和水平是相近的，不论发展速度或快或慢，它俩的水平始终围绕某一点保持平衡，将两种推理形式有机结合，学生才是真正掌握了推理能力。所以，教师在进行运算教学时，要同时加强两种推理能力的培养，不能偏废其中之一。再来看这道题：一根木棍被锯成了两段不一样长的木棍，上半段占这根木棍的三分之二，下半段比上半段长1米，问这根木棍长多少米？这是一道六年级的数学应用题，最简单的方法就是用方程解题，首先，教师要引导学生找出这道题隐含的数量关系：下半段木棍-上半段木棍=1；接下来设这根木棍长X米，将数学语言符号化：上半段木棍长X米，则下半段木棍长（1-）X米；最后得出方程：（1-）X-X=1，解得X=-3。结果真是让人大跌眼镜，为什么会得出这样的答案呢？教师让学生再次审题，学生思考之后恍然大悟：这道题不成立！这个木棍截成两段，上半段是这根木棍的三分之二，那么下半段就是这根木棍的三分之一，三分之一的这段比三分之二的这段短，题中所说“三分之一的这段比三分之二的这段长1米”显然是错误的，所以这道题无解。教师讲解这道题有两个过程，第一个过程没有直接指出题目的错误，引导学生按照常规思路解题，让学生的演绎推理能力得到锻炼，发现题目不对后，引导学生从常识出发，理性思考问题，加深了学生运用合情推理解释这道题的印象，对学生的两种推理能力都同时进行了培养。

　　联系生活中小学生经常接触的、有关数的运算的事物或活动进行教学，使培养小学生推理能力的范围不拘泥于课堂，扩大了提升推理能力的空间，不仅可以创造性地吸引小学生的注意力，还可以使学生体会数学对人们生活的重要价值和作用。例如，教师在讲解小数加减法之前，安排学生课前利用周末时间陪父母购物，然后将购物小票带到课堂，老师选择其中一张在课堂上展示，如图6。

　　老师根据这张购物小票向学生提出两个问题：（1）学生A买文具共花了多少钱？（2）牙膏比香皂便宜多少钱？各个小组讨论后列出算式：16.9+1.9和4.28-3.2，随后又分别列出竖式。学生们为了计算答案使出浑身解数，一部分学生忽视小数点的存在，以整数运算法则为依据尝试计算，得到答案后不知该如何处理小数点，一部分学生偷看例题得到启示，最后终于发现小数运算的方法。有别于常规的教学设计，课前安排的购物实践活动，把数学教学与学生的现实生活联系起来，抓住了小学生好奇、好动的特点，将其放置于数学思考的情境之中，亲历推理过程，身临其境地享受推理带来的乐趣。

　　事实证明，形成一定的能力必须依赖具体的学习素材，尤其是对小学生而言。小学生还没有形成系统的抽象思维，借助具体的素材和知识点更容易形成能力。教材是培养推理能力最经典、最便捷的资源，挖掘关于推理的素材，首先从教材开始。教材中很多看似与推理无关的例题，其实是最好的推理素材。例如在解密“圆周率”时，为了节省课堂时间，大多数教师都会以讲故事的形式，直接告诉学生关于圆周率的由来，学生只需要接受并记住这个知识点就行，但其实这是一个非常好的推理素材。教师可以先让学生在纸上画三个大小不同的圆，然后分别量圆的直径和周长，把数据记录在表格上，观察数据的规律。学生很快就会发现，圆的周长是它的直径的3倍多一点，这就是推理的结果。为了验证其的准确性，学生又多画了几个圆，仍得出一样的结论。在这个过程中，学生不仅体验了推理的乐趣，还有发现数学奥秘的愉悦感。

　　教材中关于推理的素材毕竟是有限的，教师要全面提升学生的推理能力，不能仅局限于平常的教材。从心理学角度，基于与人简单的语言交流和对周围环境的观察，6-12岁儿童在某些方面已经具备了初级的推理能力，教师利用这个条件，可以寻找更多的课堂以外的素材。例如：小周、小吴、小郑是好朋友，他们分别是歌手、演员、画家，只知道小郑比画家年龄大，小周和演员不同岁，演员比小吴年龄小，请问他们三个的身份分别的什么。这些职业小学生都有一定的了解，题目中没有出现具体的数字，只有年龄大小的比较，比一对一比较更为复杂。为了让思路更清晰，老师在黑板是画了一个表格，如图7。在符合题目条件的空格中画“√”，在不符合题目条件的空格中画“╳”，如图8。其中，“小郑是演员”是根据“小周和演员不同岁”和“演员比小吴年龄小”两个条件推理得到的。但是小周和小吴到底谁是歌手，谁是画家呢？这时候需要假设，分两种情况：情况一，小吴是画家；情况二，小周是画家。教师把学生分成两组，每组学生讨论一种情况。A组假设小吴是画家，那么小周就是歌手，由“小郑比画家年龄大”可以推出“演员比画家年龄大”，但是，由“演员比小吴年龄小”推出“演员比画家年龄小”，显然，这两个结论矛盾了，因此这个假设不成立。所以，小吴不是演员，也不是画家，只能是歌手，那么，小周就是画家。在这个推理过程中，当学生想到小周和小吴的职业有两种可能之后，教师就不必再逐步引导学生进行推理，让学生自己尝试是完全可以的。

　　决定学生推理能力水平的因素不仅包括学生对同类题型的反映速度和对题目条件之间内在联系的准确把握，还包括掌握正确的推理方法。李丹等人的实验研究结果还表明，学生在五年级（11岁左右）就能达到相应的推理水平，前提是教师引导其掌握推理方法。就拿一个简单的例子来说吧：“13亿颗玉米粒有多重？”学生看到这道题肯定会皱眉头，13亿这个数字太庞大了，要想知道13亿颗玉米粒的重量，首先得数出13亿颗玉米粒！看起来还真是个大工程啊！但是，真的有那么麻烦吗？在计算这道题之前，教师不妨带领学生温习一下“曹冲称象”的故事，以此启发他们：先计算少数玉米粒的重量，比如先数100颗玉米粒，把重量记录下来，算出13亿里面有1300万个100，那么13亿颗玉米粒的重量就是100颗玉米粒重量的1300万倍。这样计算是不是就简单多了呢？当然，可以选择的推理方法多种多样，没有绝对的正确，也没有绝对的错误，重要的是，需要运用推理解决问题是，哪种方法是最科学的、最合理的，哪种方法就是正确的。

　　打好推理基础的关键期就在小学阶段，作为一名小学数学教师，应当充分了解、利用学生的年龄特征和能力发展特点，从培养学生的初级推理能力开始，将推理能力的提升贯穿运算教学始终。这一个道阻且长的过程，教师要明确现阶段在运算过程中培养推理能力长存的问题，注意各种不利因素的影响，指导学生选择正确的推理方法，让学生养成运算过程中进行推理的习惯，从而使推理能力得到全面提升。

　　本文以理论为指导，辅以大量教学案例，从教学环境、教师和学生等多个角度对目前我国小学生推理能力培养进行分析，提出在数学运算中培养小学生的推理能力的策略，具有一定的创新。由于笔者理论研究水平尚显不足、一线的教学经验有所欠缺，本文某些观点还有些许不成熟，今后将以此为动力，积极汲取国内外先进的教学理论，在实际教学中检验上述策略的有效性，把学生的发展放在首位，提高小学生的推理能力水平。

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